2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2017-2018学年度高三3月调研考试数学试题.doc

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合，，则集合          ．

2.已知复数满足（为虚数单位），则          ．

3.双曲线的渐近线方程为          ．

4.某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则          ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，，，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为          ．

6.如图是一个算法的流程图，则输出的值是          ．

7.若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为          ．

8.设是等差数列的前项和，若，，则          ．

9.已知，，且，则的最小值是          ．

10.设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则          ．

11.已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为          ．

12.在中，点是边的中点，已知，，，则          ．

13.已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：

上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为          ．

14.若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为     ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量，.

（1）若角的终边过点，求的值；

（2）若，求锐角的大小.

16.如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.

求证：（1）平面；

（2）平面.

17.已知椭圆：经过点，，点是椭圆的下顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.

（1）当时，求的大小；

（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.

19.已知函数，.

（1）若，，且恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.

①求实数的值；

②当时，求函数的值域.

20.已知是数列的前项和，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）对于正整数，，，已知，，成等差数列，求正整数，的值；

（3）设数列前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式成立.求满足等式的所有正整数.

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

B. 选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵，，列向量.

（1）求矩阵；

（2）若，求，的值.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于底面，，点为线段（不含端点）上一点.

（1）当是线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；

（2）已知二面角的正弦值为，求的值.

23.在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.

（1）直接写出，，，的值；

（2）当时，试用，表示，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：为奇数.

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题

1.             2.           3.      4.         5.

6.             7.        8.               9.      10.

11.       12.          13.         14.

二、解答题

15.解：（1）由题意，，

所以

.

（2）因为，所以，即，所以，

则，对锐角有，所以，

所以锐角.

16.证明：（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，

又正三棱柱中且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，

平面，所以平面；

（2）正三棱柱中，平面，

平面，所以，

正中，是的中点，所以，又、平面，，

所以平面，又平面，

所以，

由题意，，，，，所以，

又，所以与相似，则，

所以，

则，又，，平面，

所以平面.

17.解：（1）由题意得，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，

设直线：，与直线联立方程有，得，

设直线：，同理，

因为，所以，

①，无实数解；

②，，，解得，

综上可得，直线的斜率为.

18.解：（1）设，由题，中，，，

所以，在中，，，

由正弦定理得，

即，所以，

则，所以，

因为为锐角，所以，所以，得；

（2）设，在中，，，

由正弦定理得，即，

所以，

从而，其中，，

所以，

记，，；

令，，存在唯一使得，

当时，单调增，当时，单调减，

所以当时，最大，即最大，

又为锐角，从而最大，此时.

答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为.

19.解：（1）函数的定义域为.当，，，

∵恒成立，∴恒成立，即.

令，则，

令，得，∴在上单调递增，

令，得，∴在上单调递减，

∴当时，.

∴.

（2）①当时，，.

由题意，对恒成立，

∴，∴，即实数的值为.

②函数的定义域为.

当，，时，.

，令，得.

∴当时，，当时，，当时，.

对于，当时，，当时，，当时，

.

∴当时，，当时，，当时，.

故函数的值域为.

20.解：（1）由得，两式作差得，即.

，，所以，，则，所以数列是首项为公比为的等比数列，

所以；

（2）由题意，即，

所以，其中，，

所以，，

，所以，，；

（3）由得，

，

，

，

所以，即，

所以，

又因为，得，所以，

从而，，

当时；当时；当时；

下面证明：对任意正整数都有，

，

当时，，即，

所以当时，递减，所以对任意正整数都有；

综上可得，满足等式的正整数的值为和.

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数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【选做题】

A. 选修4-1：几何证明选讲

证明：（1）连接，.因为是圆的直径，所以，.

因为是圆的切线，所以，

又因为，所以，

于是，得到，

所以，从而.

（2）解：由及得到，.由切割线定理，，所以.

B. 选修4-2：矩阵与变换

解：（1）；

（2）由，解得，又因为，所以，.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

解：在中，令，得，

所以圆的圆心的极坐标为.

因为圆的半径，

于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为.

D. 选修4-5：不等式选讲

证明：因为，都是正数，

所以，，

，又因为，

所以.

【必做题】

22.解：（1）以为原点，，，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设，则，，，，，；

所以，，，

设平面的法向量，则，

即，解得，所以平面的一个法向量，

，

则与平面所成角的正弦值为.

（2）由（1）知平面的一个法向量为，设，则，，，设平面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，

由题意得，

所以，即，

因为，所以，则.

23. 解：（1），，

，

，

（2），

理由如下：

对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：

若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；

若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；

根据的不同的取值，由加法原理得到；

（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；

当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，

又也是偶数，

故对任意正奇数，有均为偶数.

下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.

当时，为奇数；

假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；

根据前面所述，对任意，都有为奇数.